SUCESIONES Y SERIES ¿Qué número o letra sigue?

 SUCESIONES

Solución de los dos ejercicios propuestos en el video:

Bonito VIDEO sobre sucesiones:


Mira más ejercicios resueltos:
1. Hallar el número que sigue en la siguiente sucesión:
3, 9, 4, 8, 6, 6, 9, ...
SOLUCION.

Respuesta: El número que sigue es 3

2. Halla el número que falta en la sucesión:
2, 4, 6, 12, ..., 28, 30.

SOLUCION.

Respuesta: El número que falta es 14

3. Hallar el número equivocado en la sucesión:
1, 3, 2, 5, 3, 8, 4, 9.
SOLUCION.

Respuesta: El número equivocado es 8

4. Hallar la suma de los dos términos que siguen en la sucesión:
16, 5, 8, 8, 4, 11, ...
SOLUCION.

Respuesta: La suma es 2 + 14 = 16.

5. Hallar el valor de 3x - 4, en la sucesión:
3, 6, 5, 10, x, 16, 13.
SOLUCION.

Respuesta: El valor de 3x - 4, cuando x=8 es 20

NOTA:

Las sucesiones también pueden estar formadas por letras (se les llaman sucesiones literales). para resolverlas se debe tener en cuenta el Alfabeto en orden. Igualmente tener en cuenta las iniciales de los meses, de los días de la semana, y nombres de personas, animales o cosas.

6. Cuál es la letra que sigue en la sucesión:   A  ;  D  ;  G  ;  J  ; ...

SOLUCION

Tomando en cuenta el orden del Alfabeto:

Respuesta: La letra que sigue es M.

7. En la sucesión ¿Qué letra falta?:     A  ;  D  ;  H  ;  M  ;  ...
SOLUCION

Tomando en cuenta el orden del Alfabeto:

Respuesta: Falta la R.

8. Hallar el término que sigue en la sucesión:
Acd  ;  Egh  ;  Ikl  ; Mño  ;  ...

SOLUCION

En las mayúsculas sigue: P

En las minúsculas sigue: rs

Respuesta: Sigue es Prs

9. En la sucesión hallar el término equivocado:
AB  ;  DE  ;  HI  ;  LM  ;  RS

SOLUCION

Se observa que debe ser MN y no LM
Respuesta: El término equivocado es LM

10. ¿Qué término sigue?:     E  ;  F  ;  M  ;  A  ;  M ;  ...

SOLUCION

Se observa que son las iniciales de los meses del año.
Respuesta: El término que sigue es J

11. Qué letra sigue en la sucesión:  L  ;  M  ;  M   ;  J  ;  V  ;  ...

SOLUCION

Se observa que son las iniciales de los días de la semana. Sigue Sábado.
Respuesta: La letra que sigue es S

12. Hallar la letra que sigue en la sucesión: 
A  ;  T  ;  S  ;  I  ;  T  ;  R  ;  ...

SOLUCION

En este caso falta la "A" para leer la palabra "ARTISTA" (de derecha a izquierda).
Respuesta: La letra que sigue es A

SERIES

Una serie es una suma aplicada a los términos de una Sucesión. Comúnmente se dice hallar el valor de la serie para sumar los términos de la sucesión:

S =  a₁  +  a₂  +  a₃  +  a₄  +  a₅ + ...

Progresiones Geométricas

Una progresión geométrica (P.G.) es una sucesión donde cada término se forma multiplicando al anterior por un cantidad fija, que se denomina razón.
(Para hallar la razón se divide el término de la derecha entre el término de la izquierda: puede ser el segundo entre el primer término)

Ejemplo:   3 : 6: 12 : 24: 48: .…     
Cuando veas puntos suspensivos quiere decir que pueden incluirse más términos.
(En el ejemplo la razón es 2  porque  6 entre 3 = 2).

  VIDEO "APRENDO EN CASA" luego la primera parte de la TAREA:

Para Ro = 2 Patricia Barreto dijo que la Respuesta es 16383 personas: Veámos por qué:

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NOTA:
Si la razón es mayor que la unidad, se dice que la progresión geométrica es creciente y si la razón es menor que la unidad, es decreciente.
3 : 6 : 12 : 24 : … es creciente porque la razón es 2.
8 : 4 : 2 : 1/2: 1/4...    es decreciente porque la razón es 1/2.


DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA GENERAL:

Despejando se obtienen las demás fórmulas:

Mira los siguientes Ejemplos:

1. Calcular el sexto término de la progresión geométrica:   2 ; 4 ; 8

Solución.

2. Calcular el primer término de una progresión geométrica, si el quinto término es 405 y la razón 3.

Solución.

PROPIEDAD:

En toda progresión geométrica el producto de dos términos equidistantes de los extremos es una cantidad constante e igual al producto de los extremos.

Nota: Si el número de términos de la progresión geométrica es impar, el cuadrado del término medio es igual al producto de los extremos.

SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

Para hallar la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica se aplica la siguiente fórmula:

1. Halar la suma de los seis primeros términos de: 6 ; 3 ; 3/2; ... 

Solución.

La  Razón= 1/2 y  n=6 entonces  aplicamos la fórmula:

2. Una persona compra una casa para pagarla en 10 años de manera que el primer año paga Sy. 60 000; el segundo año, la mitad del anterior y así sucesivamente. ¿Cuánto costó la casa?

Solución.

3. Halar la suma de los términos de una progresión geométrica infinita cuya razon es 1/4 y el primer término, 12.

Solución.

INTERPOLAR MEDIOS GEOMÉTRICOS

Interpolar medios geométricos entre dos números es formar una progresión geométrica cuyos extremos sean los números dados.

El problema se reduce a calcular la razón y luego escribir los términos medios.

Ejemplos

1. Interpolar 5 medios geométricos entre 3 y 192.

Solución.

2. Interpolar 4 medios geométricos entre 4/9 y 27/256

Solución.

Ejemplo de SUCESIONES

Sucesiones lineales y cuadráticas:Término general

El término general de una sucesión es una fórmula que permite conocer el valor de un determinado término si se conoce previamente el lugar que ocupa en la misma. Por costumbre, al término general (o término enésimo) se le denota por a_n llamado término n-ésimo.

Mira algunos ejemplos (tres videos) que te eneseñan cómo hallar el término n-ésimo (enésimo) de una sucesión matemática.

NOTA: Indicamos que no existe una forma definitiva para encontrar el Término general. Con la práctica la solución se hace más fácil.

SUCESIONES LINEALES


SUCESIONES CUADRÁTICAS


MIRA EJEMPLOS RESUELTOS AQUÍ

SUCESIONES:

1. Hallar el número que sigue en la sucesión:
3, 9, 4, 8, 6, 6, 9, ...
SOLUCION.

2. Halla el número que falta en la sucesión:
2, 4, 6, 12, ..., 28, 30.

SOLUCION.

3. Hallar el número equivocado en la sucesión:
1, 3, 2, 5, 3, 8, 4, 9.
SOLUCION.

4. Hallar la suma de los dos términos que siguen en la sucesión:
16, 5, 8, 8, 4, 11, ...
SOLUCION.

5. Hallar el valor de 3x - 4, en la sucesión:
3, 6, 5, 10, x, 16, 13.
SOLUCION.

PROGRESIONES ARITMÉTICAS

¿Qué es una Progresión aritmética? 

Es una sucesión en la cual cada término se obtiene a partir del anterior sumándole o restándole una cantidad fija que se llama "diferencia".

Su fórmula es la siguiente:

Donde:
"an" es el término enésimo o último término.
"a1" es el primer término.
"n" es el número de términos.
"d" o "r" es la diferencia o razón de la progresión.

A partir de esa fórmula se pueden obtener las demás fórmulas, despejando el dato que se desea hallar.

Mira los ejemplos:

1. Determina el término de lugar 40 en la siguiente P. A. :
    8 ; 13 ; 18 ; 23 ; ...

Solución.
Aplicamos la fórmula 1:

a_n   = a₁+ r(n - 1)
Para hallar la razón restamos así:    r = 13 - 8 = 5
Reemplazamos sus valores:

a₄₀ = 8 + 5(40 - 1)                                  

a₄₀ = 8 + 5(39)                                  

a₄₀ = 8 + 195                       

a₄₀ = 203                                    
Respuesta: El término de lugar 40 es 203.

2. Calcula el número de términos en la siguiente P.A. :
     -7; -3; 1; 5; 9; ... ; 149

Solución.
Aplicamos la fórmula 4:

Respuesta: El número de términos es 40.

3. Si el primer término de una P.A. es 3, el último 25 y el número de términos 12, encuentra la razón o diferencia.

Solución.
Aplicamos la fórmula 3:

Respuesta: La razón es 2.

Suma de los primeros números pares e impares

Amigos, muchas veces nos encontramos con el problema de encontrar la suma de los primeros números consecutivos, pares o impares. A continuación les presento las fórmulas que son útiles para encontrar la suma de estos números.

SUMA DE LOS PRIMEROS NÚMEROS CONSECUTIVOS
Si "n" es el número de términos, la fórmula es la siguiente:

NOTA: "n" es el último número.

Ejemplos:
1. Encuentra la suma de: 1; 2; 3;...;11
Respuesta: Aplicando la fórmula para n=11 el resultado 11(11+1)/2 es 66

2. Encuentra la suma de: 1; 2; 3; 4 ; 5 ; ...;31
Respuesta: Aplicando la fórmula para n=31 el resultado 31(31+1)/2 es 496

3. Encuentra la suma de: 1; 2; 3; 4 ; ...;24
Respuesta: Aplicando la fórmula para n=24 el resultado 24(24+1)/2 es 300


SUMA DE LOS PRIMEROS NÚMEROS PARES
Si "n" es el número de términos, la fórmula es la siguiente:

NOTA: Para hallar "n" el último número se divide entre 2:      n/2

Ejemplos:
1. Encuentra la suma de: 2; 4; 6;..;20
Respuesta:
n = 20/2 = 10
Aplicando la fórmula para n=10 el resultado 10(10+1) es 110

2. Encuentra la suma de: 2; 4; 6; 8 ; ..; 32
Respuesta:
n = 32/2 = 16
Aplicando la fórmula para n=16 el resultado 16(16+1) es 272


SUMA DE LOS PRIMEROS NÚMEROS IMPARES
Si "n" es el número de términos, la fórmula es la siguiente:

NOTA: Para hallar "n" el último número se suma 1 y se divide entre 2:
n = (n+1)/2
Ejemplo:
1. Encuentra la suma de: 1; 3; 5;..;19
Respuesta:
n = (19+1)/2 = 10
Aplicando la fórmula para n=10 el resultado 10² es 100

2. Encuentra la suma de: 1; 3; 5; 7;..;25
Respuesta:
n = (25+1)/2 = 13

Aplicando la fórmula para n=13 el resultado 13² es 169