Media, Mediana y Moda para datos sin agrupar

PARA DATOS SIN AGRUPAR

MEDIA O PROMEDIO
Es el valor promedio de todos los datos. Para hallar La Media  se suman todos los datos y luego se divide entre la cantidad total de datos.
Ejemplo:
Hallar la media de 2; 9 ; 4
Solución:
Sumamos 2 + 9 + 4 = 15
Como hay 3 datos lo dividimos entre 3  Así:    15:3=5
Respuesta: La media es 5.

MEDIANA
Para hallar la Mediana primero se ordenan los datos de menor a mayor. El valor que está en el centro es la mediana.
Se denota por Me.

a) Si la cantidad de datos es IMPAR
Ejemplo:
Hallar la Mediana de 2; 9 ; 6
Solución:
Hay 3 datos (es impar).
Ordenamos: 2 ; 6 ; 9,  se observa que el valor que está en el centro es 6
Respuesta: La mediana es 6

b) Si la cantidad de datos es PAR
Ejemplo:
Hallar la media de   2 ; 7 ; 3 ; 1 ; 4 ; 8
Solución:
Hay 6 datos (es par).
Ordenamos: 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 7 ; 8
Encontramos la media de los dos valores centrales 3 y 4
La suma 3 + 4 = 7 , Ahora lo dividimos entre 2   Así  7 : 2 = 3,5
Respuesta La mediana es 3,5

MODA
La moda es el valor que más se repite dentro de un conjunto de datos. Es decir, aquel que tiene la mayor frecuencia absoluta.
Se denota por Mo.
Ejemplo:
Hallar la moda de 2; 8 ; 9 ; 4 : 5 ; 8 : 8 ; 1
Solución:
Respuesta La moda es 8.

NOTA:

Si hay 2 Modas se llama BIMODAL.

Si hay 3 ó más Modas se llama POLIMODAL

Si no hay moda se llama AMODAL.

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PARTE I  

 PARTE II

Media, Mediana y Moda para datos agrupados

PARA DATOS AGRUPADOS

Los datos que se trabajan en Estadística no siempre van "sueltos". Muchas veces estos datos, si son numerosos, se presentan agrupados en los intervalos de una Tabla.

Cada una de estas Medidas de centralización tienen su propia forma de solución. Veamos:

LA MEDIA O PROMEDIO

Pasos:

1. Hallar la marca de clase: Se suman los dos valores de cada intervalo y luego se divide entre 2.

2. Se multiplica la marca de clase por la frecuencia absoluta.

3. Se suman los productos obtenidos en el paso anterior.

4. Se aplicar la fórmula:

Donde:

xi : Marca de clase:

fi : Frecuencia absoluta.

n: Cantidad total de datos.

Ejemplo:

1. Hallar el Promedio o Media de las edades de 31 pacientes internados en el hospital "AMERICANO". Los datos se muestran en la Tabla:

Solución:
Primero calculamos la Marca de clase "xi":

Ahora sumamos las frecuencia, el resultado es 31
Aplicamos la fórmula y efectuamos las operaciones:

Respuesta: La Media es 26,94

LA MEDIANA

Pasos:

1. Completar la tabla encontrando la Frecuencia absoluta acumulada "F": En la primera fila se repite el valor de "f", para las demás filas sumar f + F.

2. Encontrar la Clase Mediana: Se divide n/2 y luego se escoge en la Columna "F" el primer valor mayor del resultado de la división.

3. Seleccionar la Clase Mediana sombreando o pintando de color verde u otro color TODA la fila.
4. Calcular la Amplitud: Restar los dos valores del intervalo seleccionado.

5.  Aplicar la fórmula:

Donde:

Linf: Limite inferior del intervalo.

fi : Frecuencia (f) que se encuentra en la clase mediana.

Fi-1: Frecuencia (F) anterior a la clase mediana.

A: Amplitud.

n: Total de datos.

Ejemplo:

1. Calcula la Mediana del puntaje obtenido en un Examen de Admisión en la Prueba de Razonamiento Matemático, según la Tabla:

Solución.
Primero completamos la la tabla, sumamos para encontrar la Frecuencia absoluta acumulada "F":

Encontramos la clase mediana, dividimos:   n / 2  = 30 / 2  = 15

En la Columna F el primer valor mayor de 15 es 20: Esa fila lo pintamos de verde.

A  =  60 - 50 = 10

Aplicamos la fórmula y efectuamos las operaciones:

Respuesta: La Mediana es 53,75

LA MODA

Pasos:

1. Encontrar la Clase Modal: En la columna de frecuencias "f" se escoge la f mayor de todas.

2. Seleccionar la Clase Modal encontrada en el paso anterior, sombreando, pintando de color verde u otro color TODA la fila.

3. Aplicar la fórmula:

Donde:

L inf: Limite inferior

Δ1:  f modal - f anterior a la modal.

Δ2:  fmodal - f posterior a la modal.

A:   Amplitud.

Ejemplo:

1. Calcula la Moda del peso en kilogramos de 110 estudiantes de la I.E. "Sol naciente". Estos son los datos:

Solución.
Primero encontramos la Clase Modal, buscamos la "f" mayor es 39; Y esa fila la pintamos de verde.

Encontramos los valores que nos pide la fórmula:

Δ1 = 39 - 35 = 4

Δ2 = 39 -   4 = 35

A  =  80 - 70 = 10

Aplicamos la fórmula y efectuamos las operaciones:

Respuesta: La Moda es 71,03

EJEMPLO GLOBAL

Encontrar la Media, la Mediana y la Moda de las edades de 46 chicos que estudian "Dibujo y Pintura" los fines de semana, según la siguiente tabla:

Solución.
Completamos la Tabla:

MEDIA:

Se multiplican (xi)(fi), se suman los productos y finalmente se dividen:

MEDIANA:

Primero se halla la Clase mediana dividiendo 46/2 = 23 Entonces el primer valor mayor de "F" es 34 y esa fila la pintamos de verde.
Finalmente se aplica la fórmula.

MODA:

Primero identificamos la clase modal observando que la "f" mayor es 16 entonces esa fila la pintamos de amarillo.
Y finalmente se aplica la fórmula.

Relación entre la Media, la Mediana y la Moda

Para saber si una distribución de frecuencias es simétrica, hay que precisar  con respecto a qué. Un buen indicador es la mediana para variables continuas, ya que divide al histograma de frecuencias en dos partes de igual área.

Las relaciones existentes entre los diferentes tipos de distribuciones son:

EJEMPLOS:

 1. 

Luego de una epidemia de hepatitis B. se ha registrado el tiempo (en semanas) que tardarán en recuperarse 40 afectados. Con esta información se obtuvo:

Media = 1,8; Me = 1,5 y Mo = 1. Analiza la relación entre la media, mediana y moda y la distribución que presenta.

SOLUCIÓN

• La relación que encontramos entre estas medidas es: Mo < Me < Media.

• Entonces presenta una distribución de tipo asimétrica positiva.

2. 

Un administrador registró las unidades vendidas de un artículo durante nueve días consecutivos: 204: 214; 210; 210; 208; 205; 210; 206 y 209.

Luego, calculó la media aritmética de la venta como valor representativo. Si el décimo día, que fue feriado, solo se vendió 110 artículos, ¿será la media aritmética la medida más recomendable como valor representativo de las ventas de dichos artículos en los diez días? Explica y argumenta.

SOLUCIÓN

La media aritmética en los 9 días es: Media= 208,4; pero al agregar la venta del décimo día (110 artículos) la media aritmética de los diez días es = 198,6. La media varió significativamente. Por lo tanto, no es la medida más recomendable.

3. 

Sobre las edades de 4 alumnos se sabe que la media es de 25 años, la mediana es 22 y la moda es 20, Halla las edades de los 4 alumnos.

SOLUCIÓN

4. 

Verifica si son o no consistentes los siguientes datos: h2=0,4;   h1 =0,2;    n=50;   f4=5; Media=25: Mo=30.

SOLUCIÓN

5. 

Elabora el gráfico con los datos de la tabla. Calcula la Media, la Mediana y la Moda, y analiza la distribución.

INTERVALO      f_i 

140  -  145           2

145  -  150           12

150  -  155           8

155  -  160           4

160  -  165           2

TOTAL: 28

SOLUCIÓN
Calculamos la Media: 151,1
Calculamos la Mediana: 150
Calculamos la Moda: 148,6
Ahora ubicamos en el gráfico los valores calculados:

Observamos que la Moda está a la izquierda de la mediana, por lo tanto la curva describe una asimetría positiva.

6. 

Elabora el gráfico con los datos de la tabla. Calcula la Media, la Mediana y la Moda, y analiza la distribución.

INTERVALO      f_i 

36  -  40                2

40  -  44                6

44  -  48                8

48  -  52               14

52  -  56               3

TOTAL: 33

SOLUCIÓN

Calculamos la Media: 47,2
Calculamos la Mediana: 48,1
Calculamos la Moda: 49,4
Ahora ubicamos en el gráfico los valores calculados:

Observamos que la Moda está a la derecha de la mediana, por lo tanto la curva describe una asimetría negativa.