Area y Volumen de una Esfera

¿Qué es una Esfera?
la esfera no es un círculo, tampoco es una circunferencia. La mejor representación que tenemos de una esfera es una pelota inflada.
Si imaginamos un círculo que gira alrededor de su diámetro como eje, obtendremos el cuerpo sólido llamado ESFERA.


El conjunto de todos los puntos del espacio, tales como A, B, C, D, ... Que están a una misma distancia de otro punto fijo "O" llamado centro, se llama Superficie Esférica.
A la distancia que existe entre cualquier punto  de la Superficie Esférica y el centro de la esfera se llama radio de la superficie esférica,  tal como OA en la figura.
Para resolver problemas sobre ESFERAS existen dos fórmulas que son las siguientes:

AREA DE LA SUPERFICIE ESFÉRICA
A = 4 . r2
Donde:
A  : Area
ㄫ : 3,14
r : radio

VOLUMEN DE LA ESFERA
V = 4 ㄫ r3
          3 
Donde:
V  : Volumen
ㄫ : 3,14
r  : radio

Ejemplos:

1. Hallar el área de una superficie esférica cuyo radio mide 2 m.

Solución.
Aplicamos la fórmula del Área:
A = 4 ㄫ r2

A = 4 . 3,14 . 22
A = 50,24 m2

2. El área de una superficie esférica es 314 cm2 ¿Cuánto mide su radio?

Solución.
Remplazando en la fórmula y luego despejando "r" se tiene:
A = 4 ㄫ r2
314 = 4 . 3,14 . r2
De donde:
r2  =    314       = 25
           4 . 3,14
r = 5 cm2

3. Calcular el volumen de una esfera de 3 cm de radio.

Solución.
Aplicamos la fórmula del volumen:
V = 4ㄫ r3
          3 
V = 4. 3,14 (3)3
          3 
V = 12,56 (27)
          3 
V = 113,04 cm3

4. El volumen de una esfera es 904.32 cm3. Calcular su radio.

Solución.
Remplazando valores en la. fórmula, se tiene:
V = 4ㄫ r3
          3 
904,32 = 4 . 3,14 . r3
                 3 
3 . 904,32 = 4 . 3,14 . r3
                 
r3 = 216
r = 6 cm3 

5. Los radios de dos esferas son entre sí como 1 es a 2. Si el volumen de la primera es 4,20 cm3, ¿cuál es el volumen de la segunda?

Solución.
Tenemos que:
4,20  =   1
   V        8
V = 4,20 . 8  
V = 33,6 cm3

30 problemas resueltos sobre Porcentajes

Mira y aprende cómo se resuelven los problemas sobre Tanto por ciento. Te volverás un experto.

NOTA: Si no sabes obtener porcentajes, primero debes Aprender cómo encontrar Porcentajes AQUI.

NIVEL BÁSICO

Te recuerdo que en  todo problema la palabra "de" significa que tienes que multiplicar. Mira atentamente el procedimiento:

1. ¿Cuál es el 5% del 4% de X?

Solución:
5     .  4    .  X
   100   100

20     .    X
  10000

=   X/500



2. Una persona ha invertido S/. 68450 en una industria y ha obtenido el 28% como ganancia. ¿Cuánto dinero ha ganado?

Solución:
28% de  68450

 28    .  68450
   100 

=  S/. 19166

3. En  un  ejército  de  64000  hombres,  el 18% son  Oficiales  y el resto son soldados. ¿Cuántos son oficiales y cuántos son soldados?

Solución:
OFICIALES:
18% de  64000

 18    .  64000
   100 

=   11520


SOLDADOS:
64000 - 11520

=   52480

4. El 25% de los alumnos de un salón de 44 alumnos tienen 12 años. ¿Cuántos alumnos tienen 12 años?

Solución:

25% de  44

 25   .  44
   100 

=   11

5. En un Centro Educativo hay 600 estudiantes, de los cuales 240 son mujeres. ¿Qué tanto por ciento de varones hay?

Solución:
MUJERES:
= X% de  600 es 240

  X%    .  600  = 240
   100 
X% = 240 . 100
               600
=   40%


VARONES:
100% - 40%

=   60%

6. Viviana tiene que pagar una deuda de 120 soles. Si le rebajan el 5% de su deuda  ¿Cuánto tiene que pagar?

Solución:

5%  de  120

 5   .  120
   100 

= 6
Como le rebajan 6 soles tienen que pagar: 120 - 6 = ...
=   14

7. En un salón de 50 alumnos, Carlos y Lucho se presentaron como candidatos para  ocupar la presidencia. Carlos obtuvo 32 votos y Lucho 18 votos. ¿Qué tanto por ciento obtuvo cada uno?

Solución:
CARLOS:
X% de  50 es 32

  X%    .  50  = 32
   100 
X% = 32 . 100
               50
=   64%


LUCHO:

100% - 64%
= 36%

8. Un agente vende productos farmacéuticos por un valor de S/. 1450 habiendo recibido por esto S/. 116.00 de comisión. ¿Qué tanto por ciento representa dicha comisión?

Solución:

  X% de  1450 es 116

  X%    .  1450  = 116
   100 

    X% = 116 . 100
                  1450
X =   8%

9. Roberto retira del Banco “Mi Sol” S/.24000 que representa el 16% de sus ahorros. ¿A cuánto ascendían sus ahorros hasta ese dia?

Solución:

  16% de  X es 24000

   16    .  X  = 24000
   100 

X  = 24000 . 100
               16
X =   150000

10. El equipo de fútbol de un Colegio ha jugado en total 15 partidos, de los cuales ha ganado 20%. ¿Cuántos partidos se ganaron? y ¿Qué fracción se ganó?

Solución:
20% de  15

 20    .  15
   100 

=   3

Se ganaron 3 partidos. 
Y la fracción es: 3/15
Simplificando es:  1/5
                             
11.  Gasté el 30% de lo que no gasté; si lo que gasté es S/. 81. ¿Cuánto dinero tenía?

Solución:
   X : Lo que no gasté

   Entonces:
  30% de  X es 81

   30    .  X  = 81
   100

  X  =    81 . 100
               30
 X =   270
Lo que no gasté es S/.270
Pero:
lo que gasté  + lo que no gasté  = Lo que tenía
81  + 270  = 351

Entonces tenía S/ 351.

12.  Si tuviera 30 % más del dinero que tengo, tendría S/.260. ¿Cuánto tengo? 

Solución:
  
  130% de  X es 260

  130    .  X  = 260
   100

  X  =    260 . 100
                 130
  X =   200

13.  Si vendiera un libro en 40% menos, costaría S/. 12. ¿Cuál es el precio del libro? 

Solución:
   X : Precio del libro.
   Entonces: 100% - 40% = 60%

  60% de  X es 12

   60    .  X  = 12
   100

  X  =    12 . 100
               60
  X  =   20

14. ¿Qué porcentaje de 0,04 es 0,0028?


Solución:

  X% de  0,04 es 0,0028

  X%    .  0,04 = 0,0028
   100 

    X% = 0,0028 . 100
                   0,04
X =   7%

15. Un basquetbolista debe lanzar 160 veces al cesto. Si ya convirtió 40, cuántos más debe convertir para tener una eficiencia del 70%? 

Solución:

160---------->      convierte: 40 + x ---------------- 70%  

  40 + X   =     70
     160           100

  X  =   72


NIVEL SUPERIOR


16. Hallar el 2% del 6% de 35 000

Solución:

17. Hallar el 10% de (A + B). Si:
  A = 3/8 del 0,2 % de 160 000
  B = 5/6 del 0,3 % de 40 000

Solución:

18. El señor López vendió dos pipas a S/. 120 c/u. Basada en el costo, su ganancia en una fue 20% y su pérdida en la otra fue 20 %. En la venta de las dos pipas él:

Solución:


19. En un salón de clases hay 16 varones y 24 mujeres. ¿Cuántas mujeres deben retirarse para que el porcentaje de hombres aumente en 24 %?

Solución:

                                   
20. De un total de 120 personas, 80 son hombres y el resto mujeres. Si se retiran la cuarta parte de los hombres y la mitad de las mujeres, cuál será el nuevo porcentaje de las mujeres?

Solución:
                                    
21. Hugo y Roberto, juntos, tienen S/.10 000. Si el 50% de lo que tiene Roberto equivale al 75 % de lo que tiene Hugo, cuánto tiene Roberto? 

Solución:
                                     
22. Si la base de un triángulo disminuye 30% y la altura aumenta 40 %, en qué porcentaje varia su área?
Solución:

23. Se tiene 80 litros de una mezcla que contiene Alcohol y Agua, al 60 % de Alcohol. ¿Qué cantidad de agua se debe agregar, para obtener una nueva mezcla al 20 % de alcohol?

Solución:
 

24. Se tiene mezcla de agua y vinagre al 20 % de vinagre. Si se añade 2 litros de vinagre, la solución aumenta al 40 % de vinagre. ¿Cuántos litros tenía la mezcla original?

Solución:
 


25. Si el precio de una refrigerador, luego de haberle hecho dos descuentos sucesivos del 10 % y 30 % es de S/. 945 ¿Cuál fue el precio antes de dichos descuentos?

Solución:


26. Si el lado de un cuadrado se incrementa en 20 % resulta que el área aumenta en . Calcule el lado inicial del cuadrado.

Solución:
 


27. Un obrero puede hacer una obra en 18 días y su ayudante es 25 % más eficiente. Trabajando juntos, qué tiempo necesitarían para hacer dicha obra?

Solución:


28. En el salón de clases hay 8 mujeres y 32 hombres. ¿Cuántas mujeres deben venir, si se desea que el tanto por ciento de ellas, sea como el tanto por ciento, son los hombres ahora del total de alumnos? 

Solución:
 
29. Si el ( x - 1)% de ( x +36)% es 2x/5 el valor de x es:

Solución:

30. Un comerciante eleva el precio de un artículo en el 30 % del precio de costo y al venderlo lo rebaja en 20% del precio fijado. ¿Qué % del precio de costo ha ganado?

Solución:
 



















RAZONAMIENTO MATEMÁTICO: SUMATORIAS.


¿Qué es una Sumatoria?
Es una operación matemática que se utiliza para calcular la suma de muchos números enteros.
La sumatoria se representa por la letra griega SIGMA:  ∑

Que se lee: "Suma de todos los elementos "x" desde "1" hasta "n".

NOTA:
Para resolver una sumatoria se tiene que reemplazar sucesivamente los elementos, según los índices, desde el inferior hasta el superior. Así:

PROPIEDADES DE LA SUMATORIA:

Estas son las propiedades que te recomendamos aprender:

Mira los ejemplos: