Area y Volumen de Conos

¿Qué es un CONO?

Es un Cuerpo geométrico formado por una superficie lateral curva y cerrada, que termina en un vértice, y un plano que forma su base.

Un Cono se forma cuando una recta, generatriz, gira alrededor de otra, eje, con la que se corta en un punto. Es decir, cuando un triángulo rectángulo gira sobre uno de sus catetos y determina un cuerpo geométrico, llamado cono.

TIPOS DE CONO
Existen diferentes tipos éstos son:
Cono recto: la altura del cono coincide con el centro de la base circular.
Cono oblicuo: la altura no coincide con el centro de la base circular.

AREA Y VOLUMEN DE UN CONO
Para hallar el área y volumen se deben conocer sus fórmulas.
LA BASE ES UN CIRCULO.
Las fómulas son:

AREA LATERAL.
AREA TOTAL.
VOLUMEN.

Donde:

AL : Area lateral

ㄫ : 3,14

r : radio de la base.

g : generatriz.

AT : Area total.

V : Volumen.

h : altura.

EJEMPLOS:

1. Encuentra el área lateral de un cono si su radio mide 5 cm y su generatriz 10 cm.

Solución:

AL = ㄫ r g

AL = ㄫ (5) (10)

AL = 50ㄫ cm²

AL = 50 (3,14)

AL = 157 cm²

Respuestas: 

El área lateral es 50ㄫ cm²

El área lateral es 157 cm²

NOTA: LAS DOS RESPUESTAS SON VERDADERAS (la primera está expresada con ㄫ)

2. Encuentra el área total de un cono si su radio mide 3 cm y su generatriz 7 cm.

Solución:

Aplicamos la fórmula:

AT = ㄫ. r (g + r )

AT = ㄫ. 3 (7 + 3)

AT = ㄫ. 3 (10)

AT = 30ㄫ

Respuesta: El área total es 30ㄫcm²

3. Determina el volumen del cono si su radio mide 4 cm y su altura es 12 cm

Solución:

Encontramos el Volumen usando la fórmula:

V = ㄫ. (r)² (h) / 3

V = ㄫ. (4)² (12) / 3

V = ㄫ. (16) (12) / 3

V = ㄫ. (192) / 3

V = 64 ㄫ

Respuesta: El volumen es 64ㄫcm³

4. Calcula el área lateral y total del siguiente cono:

Solución:

Primero calculamos la generatriz del cono:

g² = 8² + 6²

g² = 64 + 36

g² = 100

g   = 10

Encontramos el área lateral empleando la fórmula:

AL = ㄫ (6) (10)

AL = 60 ㄫ

Ahora encontramos el área total:

AT = ㄫ(6)(10 + 6)

AT = ㄫ(6)(16)

AT =  96ㄫ

Respuesta: El área lateral es 60ㄫcm²  Y el área total es 96ㄫcm²

5. Encuentra el volumen del cono mostrado en la figura, si su radio mide 5 cm.

Solución:

Aplicando el Teorema de Pitágoras:

13² = h² + 5²

169 = h² + 25

169 - 25 = h²

144 = h² 

h = 12

Ahora encontramos el Volumen usando la fórmula:

V = ㄫ. (5)² (12) / 3

V = 100 ㄫ

Respuesta: El volumen es 100ㄫcm³

6. El  área total de un cono  es 81ㄫcm. Determina la medida del radio.

Solución.

Por dato AT = 81 ㄫ

ㄫr (g+r) = 81 ㄫ.............. (A)

Del gráfico: g =2r

Reemplazamos en (A):

ㄫr (2r+r) = 81 ㄫ

ㄫ. 3 r²= 81 ㄫ

r²= 27

r = 3√3 cm.

Respuesta: El radio mide 3√3 cm.

7. Calcula el volumen del siguiente cono si su área lateral es 80ㄫcm.

Solución:

Por triángulo notable de 37° y 53°:

Y por dato:

AL = 80ㄫ

ㄫ (4k) (5k) = 80ㄫ

20 k² = 80

k² = 4

k = 2

Encontramos ahora el volumen:

V = ㄫ. (4k)² (3k) / 3

V = ㄫ. (8)² (6) / 3

V = 128 ㄫ

Respuesta: El volumen es 128ㄫ

8. Determina la relación de los volúmenes de los siguientes conos mostrados:

Solución:

Respuesta: La relación es 98/81

EJEMPLO:

AHORA VEAMOS UN VIDEO INTERESANTE: