DIVISION DE POLINOMIOS: Técnica de Horner

Este método se emplea para la división de dos polinomios cuando el Divisor es de cualquier grado (La Técnica de Ruffini sólo se emplea cuando el divisor es de primer grado).
El Esquema de Horner es el siguiente:

Procedimiento :

•  Ordenar el polinomio en forma descendente.

•  Escribir los coeficientes del dividendo en la fila superior con su propio signo.

• Se escribe los coeficientes del divisor en una columna a la izquierda: El primero de ellos con su propio signo y los demás con signo cambiado.

• Separar con una línea vertical punteada, de derecha a izquierda según el grado del divisor.

• El primer término del dividendo se divide entre el primer término del divisor, obteniéndose así el primer término del cociente.

• Se multiplica este término del cociente por los términos del divisor a los cuales se cambió de signo, colocándose los resultados a partir de la segunda fila, trasladando un lugar hacia la derecha.

• Se reduce, sumando la siguiente columna y se coloca el resultado en la parte superior para dividirlo entre el primer coeficiente del divisor y obtener el segundo termino del cociente.

•  Se continúa este procedimiento hasta obtener el término debajo del último termino del dividendo.

• Para obtener los coeficientes del residuo se reducen sumando directamente cada una de las columnas.

NOTA:
Para poder dividir es requisito saber Adición y sustracción de Monomios  VER AQUÍ
Para poder dividir es requisito saber Multiplicación y división de Monomios  VER AQUÍ

EJEMPLOS:

1. Dividir según la Técnica de Horner:  
( 3x³  + 8x² + 4x - 2)  : ( x²  + 2x - 1 )

2. Dividir según la Técnica de Horner:
( x⁴  - 3x³ + 5x²  - 3x + 4)  : ( x²  - 3x + 4 )

3. Dividir según la Técnica de Horner :

( 2x⁴ + 3x³  + 2x + 1)  : ( x²  - x + 1 )

4. Dividir según la Técnica de Horner y luego calcula la suma del cociente con el residuo:

( 8x⁵  - 2x⁴ + 9x³  - x² + 5x - 5)  : ( 2x²  - x + 2 )

 Ahora mira el Video de División de polinomios, según HORNER:

DIVISION DE POLINOMIOS: Técnica de Ruffini

Para dividir polinomios se puede emplear La Técnica de Ruffini (solamente cuando el divisor es un binomio de la forma: x – a).

El Esquema de Ruffini es el siguiente:

Los pasos a seguir son los siguientes:

1. Ordenar el polinomio en forma decreciente con respecto a una variable, si faltan términos se completa con ceros.
2. En el esquema de Ruffini colocar los coeficientes del dividendo, incluidos los que son 0.
3. En la parte inferior izquierda escribir el número (valor) que se obtiene luego de igualar a 0.
4. Bajamos el primer coeficiente del dividendo.
5. Multiplicamos el coeficiente bajado por el valor de la parte inferior izquierda y colocamos el resultado debajo del coeficiente del término siguiente y sumamos.
6. Repetimos el paso anterior con las cantidades que vamos obteniendo, hasta llegar al último término.

NOTA: El último número obtenido, es el residuo de la división. Y el cociente será de, exactamente, un grado menor que el dividendo.

Ejemplo:
Dividir:        3x² + 2x⁴ -6 - 7x³    entre   x + 1

Solución:
a) Primero ordenamos el polinomio en forma decreciente, queda así:
2x⁴ - 7x³  +3x² + 0x - 6      luego colocamos los coeficientes en la fila superior.
b) El Divisor  x+1 se iguala a 0  y se obtiene x=-1  lo colocamos en la esquina inferior izquierda.
c) Bajamos el +2 y lo multiplicamos por -1 nos da -2.
d) Este resultado lo colocamos debajo del segundo coeficiente y sumamos los valores de esta segunda columna. -7-2 nos da -9.
e) Seguimos el mismo procedimiento hasta completar los coeficientes del cociente.
f) Hallamos el residuo sumando los valores de la última columna.

Para dar el resultado se disminuye 1 al exponente del primer término del dividendo (4-1=3) ordenando en forma descendente desde x³
El procedimiento completo es el siguiente:

Veámos más ejercicios resueltos:

a) Dividir:        3x³  - 10x²  + 22x - 16    entre   x - 2

Solución:

Respuesta:

Q (x) =  3x²  - 4x  + 14 

R (x) = +12 

b) Dividir:      2x³  +  x²  -  11x  + 9    entre   x + 3

Solución:

Respuesta:

Q (x) =  2x²  - 5x  + 4 

R (x) =  -3 

c) Dividir:      3x⁴  -  6x²  - 9    entre   x -  4

Solución:

Respuesta:

Q (x) =  3x³  + 12x²  + 42x  + 168 

R (x) = +663 

Ahora mira el video División de polinomios según RUFFINI: 😃😃😃
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DIVISION DE POLINOMIOS: Método tradicional

Tú sabes cómo dividir 25 entre 5 ¿Verdad? Pues bien, la división entre polinomios es exactamente lo mismo, con sus partes: Dividendo, divisor, cociente y resto.

Para dividir polinomios se ordenan el dividendo y del divisor en forma descendente con respecto a una variable (si faltan términos se completan con ceros) y luego se realizan los siguientes pasos:

1. El primer término del cociente se obtiene dividiendo el término de mayor grado del dividendo entre el de mayor grado del divisor.
2. Este término se multiplica por cada uno de los términos del divisor y, el resultado, se le resta al dividendo.
3. Con el nuevo dividendo obtenido se repite el proceso hasta que el grado resulte menor que el del divisor.

(No te olvides que en toda multiplicación los exponentes SE SUMAN y en toda división, los exponentes SE RESTAN)

NOTA: Para entender este tema primero tienes que saber Adición, Sustracción, Multiplicación y División de Monomios VER AQUÍ

Ejemplos:

1. Dividir:       8x² + 16x + 6    entre   2x + 3
Solución:

*El procedimiento que hemos realizado es el siguiente:

Se divide 8x² entre 2x el resultado es 4x.

Luego se multiplica 4x por (2x + 3) el resultado es +8x² +12x

Entonces les cambiamos de signo -8x² -12x

y sumamos  al dividendo, el resultado es  0 + 4x

"Bajamos" el +6 y seguimos el mismo procedimiento.               

2. Dividir:

3. Dividir:

4. Dividir:

IMPORTANTE.

Los polinomios también se pueden dividir con estos dos métodos:

División según la Técnica de RUFFINI...VER AQUI

División según la Técnica de HORNER...VER AQUI

Ahora mira el video División de polinomios, según el método clásico (o Tradicional): 😃😃😃
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