Semejanza de Triángulos: Ejercicios resueltos

Dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos respectivamente congruentes y si sus lados homólogos son proporcionales. (Lados homólogos son los opuestos a ángulos iguales).

Para saber si dos triángulos son semejantes. Es suficiente que se cumpla alguno de los tres siguientes criterios:

ANGULO-ANGULO-ANGULO   (A-A-A )
LADO-LADO- LADO     (L-L-L)
LADO-ANGULO-LADO    (L-A-L)

Teorema Fundamental de la Semejanza de Triángulos:

Toda paralela a cualquier lado de un triángulo forma con los otros dos lados un triángulo semejante al primero, y para que dos triángulos sean semejantes basta con que cada uno posea dos ángulos congruentes.

Ahora mira los interesantes videos:



LOS TRES CASOS DE SEMEJANZA:

Teoremas y Ejercicios sobre triángulos

1.- La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°.
EJEMPLO:
Dos angulos interiores de un triángulo miden 70° y 50°. ¿Cuánto mide el tercer ángulo?
Solución
A+ B+ C = 180°
70° + 50° + x = 180°
x = 180° - 120° = 60°

2.- La suma de los ángulos exteriores de un triángulo es 360°
EJEMPLO:
Dos angulos exteriores de un triángulo miden 112° y 178°. ¿Cuánto mide el tercer ángulo?
Solución 
A+ B+ C = 360°
112° + 178° + x = 360°x = 360° - 290° = 70°

3.- Todo ángulo exterior de un triángulo, es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes.

EJEMPLO:
En la figura: M = A + B


4.- En todo triángulo isósceles, a lados iguales se oponen ángulos iguales.

5.- En todo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo.

6.- Triángulo Rectángulo: TEOREMA DEL CATETO
En todo triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.
a: hipotenusa
b y c: catetos
m: proyección del cateto b sobre la hipotenusa
n: proyección del cateto c sobre la hipotenusa

En la figura:

b²=a.m
c²=a.n

EJEMPLO:

7.- Triángulo Rectángulo: TEOREMA DE LA ALTURA RELATIVA A LA HIPOTENUSA
En todo triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre los 2 segmentos que dividen a ésta.

En la figura: h²=m.n

EJEMPLO:

LOS TRIANGULOS Y SU CLASIFICACION

Un triángulo es un polígono de tres lados. Está unido por tres puntos no colineales.
Todo triángulo está determinado por:
a. Tres segmentos de recta que se denominan lados.
b. Tres puntos no alineados que se llaman vértices.

NOTA:
Los vértices se escriben con letras mayúsculas.
Los lados se escriben en minúscula, con la mismas letras de los vértices opuestos.

CLASIFICACION DE LOS TRIANGULOS:
POR SUS LADOS
Según los lados los triángulos pueden ser:
T. Equilátero. Los tres lados iguales
T. Isósceles. Dos lados Eiguales y el tercero desigual.
T. Escaleno. Los tres lados desiguales.

POR SUS ANGULOS
Según los ángulos, los triángulos pueden ser:
T. Rectángulo: Tiene un ángulo recto.
T. Obtusángulo: Tiene un ángulo obtuso.
T. Acutángulo: Los tres ángulos son agudos.

Congruencia de Triángulos: LAL; ALA; LLL

Al comparar dos figuras, si observamos que tienen la misma forma y la misma medida, decimos que estas figuras son congruentes.

Dos triángulos son congruentes, si identificamos los siguientes casos:
PRIMER CASO: LADO - ANGULO - LADO (LAL)
Dos triángulos son congruentes si, en el primer triángulo, dos de sus lados y el ángulo comprendido entre ellos del segundo triángulo.

SEGUNDO CASO: ANGULO - LADO - ANGULO (ALA)

Dos triángulos son congruentes si dos ángulos y el lado comprendido entre ellos, de uno de los triángulos, son congruentes con dos de los ángulos y el lado comprendido entre ellos del otro triángulo.

TERCER CASO: LADO - LADO - LADO (LLL)

Dos triángulos son congruentes si los tres lados de uno de ellos son congruentes a los lados del otro triángulo.

SEMEJANZA DE TRIANGULOS

El concepto de semejanza en matemática está muy ligado al concepto de proporcionalidad. En esta ciencia se dice que dos objetos son semejantes si "guardan" una proporción entre ellos.

Existen los siguientes casos:
1. Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.

2. Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.

3. Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos igual.
Miren atentamente el video: