Progresiones Aritméticas

¿Qué es una Progresión aritmética? 

Es una sucesión en la cual cada término se obtiene a partir del anterior sumándole o restándole una cantidad fija que se llama "diferencia".
Su fórmula es la siguiente:
Donde:
"an" es el término enésimo o último término.
"a1" es el primer término.
"n" es el número de términos.
"d" o "r" es la diferencia o razón de la progresión.

A partir de esa fórmula se pueden obtener las demás fórmulas, despejando el dato que se desea hallar.


Mira los ejemplos:

1. Determina el término de lugar 40 en la siguiente P. A. :
    8 ; 13 ; 18 ; 23 ; ...

Solución.
Aplicamos la fórmula 1:

an   = a1+ r(n - 1)
Para hallar la razón restamos así:    r = 13 - 8 = 5
Reemplazamos sus valores:
a40 = 8 + 5(40 - 1)                                  
a40 = 8 + 5(39)                                  
a40 = 8 + 195                       
a40 = 203                                    
Respuesta: El término de lugar 40 es 203.

2. Calcula el número de términos en la siguiente P.A. :
     -7; -3; 1; 5; 9; ... ; 149

Solución.
Aplicamos la fórmula 4:

Respuesta: El número de términos es 40.

3. Si el primer término de una P.A. es 3, el último 25 y el número de términos 12, encuentra la razón o diferencia.

Solución.
Aplicamos la fórmula 3:

Respuesta: La razón es 2.

4. En una progresión aritmética se conoce que el término de lugar 72 es 408 y que la razón es 6.      Encuentra el primer término.

Solución.
Aplicamos la fórmula 2:

a1 = an - r(n - 1)
Reemplazamos sus valores:      
a1 = 408 - 6(72 - 1)       
a1 = 408 - 6(71)  
a= 408 - 426     
a1 = - 18       
                    
Respuesta: El primer término es -18.

5. Encuentra el número de términos de una P.A., cuyo primer término es 4, el último 40 y la razón 3.

Solución.
Aplicamos la fórmula 4:
Respuesta: El número de términos es 13.

6. Hallar el término enésimo de la siguiente P.A. :
    7 ; 13 ; 19 ; 25

Solución.
Aplicamos la fórmula 1:
Hallar el término enésimo significa obtener una expresión que tenga la letra "n", así:
an   = a1+ r(n - 1)
Para hallar la razón restamos así:    r = 13 - 7 = 6
a1= 7
Reemplazamos sus valores:
a= 7 + 6(n - 1)                                  
a= 7 + 6n - 6                                  
a= 1 + 6n                       
                                   
Respuesta: El término enésimo es  a= 1 + 6n 
Si queremos comprobar la expresión obtenida, encontraremos el primer término: Según la P.A. tiene que ser 7, Veámos:
El primer término equivale a  n = 1
Reemplazamos el valor de "n" en el término enésimo:
a= 1 + 6(1) 
a1= 7      efectivamente, COMPROBADO es 7.

VIDEO:
En una Progresión Aritmética el tercer término es 24 y el décimo término es 66. Hallar el primer término y la diferencia común de la progresión.

1 comentario:

Anónimo dijo...

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