Para resolver problemas sobre ecuaciones. primero tenemos que aprender a convertir una expresión común en una expresión matemática. A esta conversión también se le llama Planteo de Ecuaciones.
Mira y aprende cómo se representa un enunciado común en lenguaje algebraico.
LENGUAJE COMÚN | LENGUAJE MATEMÁTICO |
|---|---|
| Un número cualquiera | x |
| El doble de un número | 2x |
| El doble del primero por el segundo | 2ab |
| El cuadrado de un número disminuido en 4 | x2- 4 |
| El cuadrado de la suma de un número con 3 | (x + 3) 2 |
| Un número, aumentado en 41 | x + 41 |
| El producto de tres números enteros consecutivos | (x - 1) (x) (x + 1) |
| El triple de un número | 3x |
| La mitad de un número | x/2 |
| Un número dividido entre 3 | x/3 |
| La tercera parte de la suma de un número con 9 | (x + 9) / 3 |
| El dinero que me falta para tener S/. 100 | 100 - x |
| La suma de dos números impares consecutivos | (2x + 1) + (2x + 3) |
| La quinta parte de un número | x/5 |
| Un número disminuido en ... | x - ... |
| El siguiente de un número | x + 1 |
| Tres números consecutivos | x ; x+1 ; x+2 |
| Un número par | 2x |
| Un número impar | 2x+1 |
| Tres números impares consecutivos | (2x + 1) ; (2x+3) ; (2x+5) |
| EI cuadrado de un número | x2 |
| Los dos séptimos de un número es 42 | 2x / 7 = 42 |
| El quíntuple de la mitad de un número | 5( x / 2 ) |
| El doble de un número excede al número en 20 | 2x - x = 20 |
| El triple de un número aumentado en 40 | 3x + 40 |
| El cuádruplo, de un número aumentado en 5 | 4( x + 5) |
| El cuadrado de un número disminuido en 7 | (x - 7)2 |
| El cuadrado de un número, disminuido en 7 | x2 - 7 |
| Sumar mi edad hace 2 años con mi edad dentro de 7 años | (x - 2) + (x +7) |
PROBLEMAS SOBRE ECUACIONES CON UNA VARIABLE
1. Un número aumentado en 5 es 11. ¿Cuál es el número?
SOLUCIÓN.
Sea el número: x
El número aumentado en 5: x + 5
El número aumentado en 5 es 11: x + 5 = 11
Ahora resolvemos la ecuación:
x + 5 = 11
x = 11 - 5
x = 6
Rpta. El Número es 6.
2. El doble de mi edad disminuido en 1 es 31. ¿Cuál es mi edad?
SOLUCIÓN.
Sea mi edad: x
El doble de mi edad: 2x
El doble de mi edad disminuido en 1: 2x - 1
El doble de mi edad disminuido en 1 es 31: 2x - 1 = 31
Ahora resolvemos la ecuación:
2x - 1 = 31
2x = 31 + 1
2x = 32
x = 32/2
x = 16
Rpta. Mi edad es 16.
3. Un Entrenador de fútbol entrega polos a sus jugadores. Si entrega 8 a cada uno, le sobran 15; pero si entrega 11 a cada uno le faltan 3. ¿Cuántos polos tenía el Entrenador?
SOLUCIÓN.
Sea cantidad de jugadores: x
Se cumple que:
cantidad de polos: 8x + 15 = 11x - 3
Ahora resolvemos la ecuación:
15 + 3 = 11x - 8x
18 = 3x
x = 18/3
x = 6
Entonces:
Cantidad de polos: 8(6) + 15 = 63
Rpta. El Entrenador tenía 63 polos.
4. Luis compró tres libros: Un rojo, un azul y un verde. El libro rojo le costó $10 más que el libro verde y la mitad de lo que le costó el libro azul. Si en total gastó $90, ¿Cuánto fue el costo de cada libro?
SOLUCIÓN.Costo libro verde: x
Costo libro rojo: x + 10
Costo libro azul: 2(x + 10)
Gasto total: $90
Planteamos la ecuación, queda así:
libro verde + libro rojo + libro azul = Gasto total
x + x + 10 + 2(x + 10) = 90
Ahora resolvemos la ecuación:
x + x + 10 + 2(x + 10) = 90
x + x + 10 + 2x + 20 = 90
4x + 30 = 90
4x = 90 - 30
4x = 60
x = 15
Ahora reemplazamos el valor de x:
Costo libro verde: 15 = $ 15Costo libro rojo: 15 + 10 = $ 25
Costo libro azul: 2(15 + 10) = $ 50
5. Encuentra dos números impares consecutivos cuya suma sea -40
SOLUCIÓN.
Números impares consecutivos: 2x+1 ; 2x+3
Planteamos la ecuación, queda así:
2x+1 + 2x+3 = -40
Ahora resolvemos la ecuación:
2x+1 + 2x+3 = -40
4x + 4 = -40
4x = -40 - 4
4x = -44
x = -44 / 4
x = -11
Ahora reemplazamos el valor de x:
2x+3 = 2(-11) +3 = -22 + 3 = -19
Rpta. Los números impares son -21 y -19
PROBLEMAS SOBRE ECUACIONES CON DOS VARIABLES
Para resolver estos problemas primero tienes que saber Cómo se resuelven Ecuaciones con dos variables (AQUÍ).
1. La suma de dos números es 4 y su diferencia es 2. ¿Cuales son dichos números?
SOLUCIÓN.
Un número: x
El otro número: y
Planteamos la ecuación con dos variables, queda así:
x + y = 4
x - y = 2
Ahora resolvemos la ecuación x+x ; +y-y:
x + y = 4
x - y = 2
2x = 6
x = 6/2
x = 3
Ahora reemplazamos el valor de x en cualquiera de las dos primeras ecuaciones:
x + y = 4
3 + y = 4
y = 4 - 3
y = 1
Rpta. Los números son 3 y 1.
2. En una granja sólo hay cerdos y gallinas. En total son 40 animales y se contó un total de 100 patas. ¿Cuántos cerdos y gallinas hay?
SOLUCIÓN.
Representamos x al número de cerdos, a la cantidad de patas con 4x
Representamos y al número de gallinas, a la cantidad de patas con 2y
Planteamos la ecuación con dos variables, queda así: (son 40 animales y 100 patas)
x + y = 40
4x + 2y = 100
Ahora resolvemos pero primero multiplicamos por -2 a la primera ecuación queda así:
-2x - 2 y = - 80
4x + 2y = 100
2x = 20
x = 10 Cerdos.
Ahora reemplazamos el valor de x en cualquiera de las dos primeras ecuaciones:
x + y = 40
10 + y = 40
y = 40 - 10
y = 30 Gallinas.
Rpta. En la granja hay 10 cerdos y 30 gallinas.
x + y = 40
4x + 2y = 100
Ahora resolvemos pero primero multiplicamos por -2 a la primera ecuación queda así:
-2x - 2 y = - 80
4x + 2y = 100
2x = 20
x = 10 Cerdos.
Ahora reemplazamos el valor de x en cualquiera de las dos primeras ecuaciones:
x + y = 40
10 + y = 40
y = 40 - 10
y = 30 Gallinas.
Rpta. En la granja hay 10 cerdos y 30 gallinas.
3. El perímetro de un rectángulo mide 24 cm y su base es el triple de su altura ¿Cuales son sus dimensiones?
Representamos como b a la base
Representamos como h la altura
Planteamos la ecuación con dos variables, queda así: (son 40 animales y 100 patas)
2b + 2h = 24
b = 3h
Ordenamos:
2b + 2h = 24
b - 3h = 0
Ahora resolvemos pero primero multiplicamos por -2 a la segunda ecuación queda así:
2b + 2h = 24
-2b + 6h = 0
8h = 24
h = 3 Altura.
Ahora reemplazamos el valor de h en cualquiera de las dos primeras ecuaciones:
b = 3h
b = 3(3)
b = 9 Base.
Rpta. La altura mide 3 cm y la base 9 cm..
2b + 2h = 24
b = 3h
Ordenamos:
2b + 2h = 24
b - 3h = 0
Ahora resolvemos pero primero multiplicamos por -2 a la segunda ecuación queda así:
2b + 2h = 24
-2b + 6h = 0
8h = 24
h = 3 Altura.
Ahora reemplazamos el valor de h en cualquiera de las dos primeras ecuaciones:
b = 3h
b = 3(3)
b = 9 Base.
Rpta. La altura mide 3 cm y la base 9 cm..
PROBLEMAS SOBRE ECUACIONES CON TRES VARIABLES
Para resolver estos problemas primero tienes que saber Cómo se resuelven Ecuaciones con tres variables (AQUÍ).
1. La suma de dos números es 25; la suma del segundo con un tercero es 4 y la suma del primero con el tercero es 5. Hallar la suma de los cuadrados de los tres números.
Solución.
2. La suma de tres números es 21. El cociente de dos de ellos es 2 y la suma de estos dividida entre el tercero es igual a 6. Hallar los números.
Solución.
3. Se tienen tres números enteros. Si se suman dos a dos, se obtiene sucesivamente 31; 41 y 36, hallar el promedio de los tres números
Solución.
4. En una sucesión de números, cada número a excepción del primero, es el triple del anterior aumentado en 4. Si el tercero es 79, hallar la suma de los dos primeros.
Solución.
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