Conjuntos (Nivel básico y avanzado)

CONJUNTOS (Nivel I)

En matemática la palabra conjunto tiene el mismo significado que se le otorga a las palabras "agrupación", "colección".

Se usa la palabra conjunto cuando se está seguro de cuáles son los objetos que están en la agrupación.

Por ejemplo es correcto afirmar:

"El conjunto de los días de la semana"

"El conjunto de los números naturales menores que 10"

"El conjunto de las provincias del Ica"

En los tres casos anteriores es posible decidir si un objeto está o no en cada agrupación.

ELEMENTOS.

A cada objeto que forma parte de un conjunto se le llama elemento del conjunto. Por ejemplo:

• Martes es un elemento del conjunto de los días de la semana.
• 3 es elemento del conjunto de los números naturales menores que 5.

NOTACIÓN.

Por lo general los conjuntos se representan por letras mayúsculas. Se acostumbra escribir los elementos de los conjuntos entre llaves y separados por comas Así:

A = { 1 , 2, 3, 4 } 

Este conjunto se lee: "Conjunto A cuyos elementos son 1,2,3,4"

*Para indicar que un objeto está en un conjunto se utiliza la palabra pertenece, dicha palabra se representa por el símbolo ∈

Ejemplo:

En el conjunto B = { 8, 9, 10)

9 pertenece a B y se representa

9 ∈  B

*Para indicar que un objeto no está en un conjunto se utiliza la expresión "no pertenece". Dicha expresión se representa por el símbolo ∉

Ejemplo:

En el conjunto B = 8, 9, 10 

7 no pertenece a B y se representa así:

7 ∉ B

CLASES DE CONJUNTO.

CONJUNTO UNITARIO.

Se llama conjunto unitario al que tiene un solo elemento.. Son unitarios, por ejemplo, los siguientes conjuntos:

• El conjunto de los satélites naturales de la Tierra.
• El conjunto de los números naturales mayores que 2 pero menores que 4.

CONJUNTO VACIO.

Se llama conjunto vacío o conjunto nulo, al que carece de elementos.

El conjunto vacío se representa por el símbolo Ø  

Ejemplos de conjuntos vacíos:

• El conjunto de peruanos mayores de 300 años de edad.
• El conjunto de los números naturales mayores que 2 pero menores que 3.

CONJUNTO UNIVERSAL. 

Si afirmamos que el conjunto E es: 

E = primavera, verano, otoño, invierno. 

y que x es elemento del conjunto E, entonces comprendemos que x representa a cualquiera de las estaciones del año: primavera, verano, otoño, invieno.

En este caso se dice que E es el conjunto Universal de la variable x.

Si el universo de la variable x es S = 2, 4, 6, 8 , los valores que puede tomar x son 2, 4, 6 ú 8.

Si estamos refiriéndonos a los claveles, las rosas, las violetas, entonces el conjunto universo, en este caso es el conjunto de las flores.

Este conjunto puede ser representado de esta manera

F = { x/ x es flor}

Se lee: F es el conjunto de los x tal que cada x es flor.

Por lo general se utiliza el símbolo U para representar el conjunto universo

DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO.

Un conjunto puede ser determinado o descrito de dos manera: por extensión y por comprensión.

Por extensión.

Un conjunto es determinado o descrito por extensión cuando se nombra cada elemento del conjunto.

Por comprensión.

Un conjunto es determinado por comprensión cuando se menciona una propiedad de la que gozan solamente todos los elementos del conjunto

:

Mira los siguientes ejemplos, los conjuntos están determinados primero por extensiór y luego por comprensión:

1.  A ={ Mercurio, Venus. Tierra, Marte, Jupiter, Saturno, Urano, Neptuno, Plutón )

A = { x / x es planeta del sistema planetario solar }

Se lee: Conjunto A de elementos x tal que cada x es un planeta del Sistema planetario solar.

2.  B= {do, re, mi, fa, sol, la, si)

B = { x / x es nota musical }

Se lee: Conjunto B de elementos x tal que cada x es nota musical.

3.  C= { 0,1, 2, 3 }

C={ x ∈ N / x <= 3 }

x menor igual 3 significa que x puede ser 3 y que además puede representar a números menores que 3.

Se lee: Conjunto C de los elementos x que pertenecen a los números naturales tal que cada x es menor o igual que 3.

4.   D={8, 9, 10, 11)

D = { x ∈ N / 8<= x < 12 }

x puede ser ocho; puede ser mayor que ocho pero menor que 12.

Se lee: Conjunto D de los elementos x que pertenecen a los números naturales, tal que cada x es mayor o igual que 8 pero menor que 12.

INCLUSIÓN DE CONJUNTOS.

Un Conjunto es un subconjunto de otro conjunto si todos los elementos del primero son también elementos del segundo conjunto.

Mira los ejemplos:

Mira más ejercicios:

INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS.

Se llama intersección de dos conjuntos al conjunto cuyos elementos pertenecen a ambos conjuntos. Ejemplo:

INTERSECCIÓN DEFINICIÓN SIMBÓLICA.

EJEMPLOS DE INTERSECCIÓN:

INTERSECCIÓN DE VARIOS CONJUNTOS.

Ejemplo:

Hallar el conjunto intersección de los conjuntos A, B, C sabiendo que:

A:  0; 2; 3 ; 4 ; 5 ; 6

B:  0; 1; 4 ; 5 , 8

C:  2; 3 ; 4 , 5 ; 7 , 8

Solución: 

DIFERENCIA DE CONJUNTOS.

La diferencia de los conjuntos A y B es el conjunto de los elementos que pertenecen a A pero no pertenecen a B.

Ejemplos:

La tabla de doble entrada mostrada muestran los deportes que practican los alumnos: José, Luis, pedro, Carlos, Enrique, Anibal y Benito:

El Conjunto F de los alumnos que practican Fútbol.

F:   l, c, e, a, b:

El Conjunto K de los alumnos que practican Básquetbol.

F:   j, l, p, c, b

UNIÓN  DE CONJUNTOS.

Ejemplos gráficos de Reunión de conjuntos:

Ejercicios resueltos:

Unión de varios Conjuntos.

Mira este ejemplo: Hallar el Conjunto  N ∪ P ∪ E

Sabiendo que:

N = { x ∈ N / 3< x <= 5 }

P = { x ∈ N / 4< x <= 7 }

E = { x ∈ N / 5< x < 9 }

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FUENTE: Rojas, G.

CONJUNTOS (Nivel II)

1. Grafica las siguientes operaciones con conjuntos:

2. Considere el conjunto universal U y tres subconjuntos del mismo: A, B y C, de acuerdo a la siguiente figura:

3. En un salón de clase, se preguntó a los alumnos sus preferencias por Matemática y Lenguaje. El resultado fue el siguiente: a 25 alumnos le gusta la Matemática, a 30 Lenguaje y a 15 solamente uno de los cursos. Si 5 alumnos no mostraron interés por los cursos, ¿a cuántos alumnos se encuestó?

4. De un total de 320 consumidores de pollos a la brasa: 125 no consumen ketchup 135 no consumen mostaza. 20 no consumen mostaza ni kétchup. ¿Cuántas personas consumen ambas salsas?

5. En un colegio el 50% de los alumnos aprobó Física; el 42%, Química; y el 56% uno y solo uno de los dos cursos. Además, 432 aprobaron Física y Química. ¿Cuántos alumnos hay en el colegio?

6. En una entidad internacional trabajan 36 personas, de las cuales 6 hablan solo inglés y español; 10 hablan solo francés y español; 8 hablan inglés, francés y español. Si todos hablan español:

1) ¿Cuántas personas solo hablan español?
2) ¿Cuántas personas hablan inglés?
3) ¿Cuántas personas hablan francés?